A Theoretical Analysis of Compactness of the Light Transport Operator

International audienceRendering photorealistic visuals of virtual scenes requires tractable models for the simulation of light. The rendering equation describes one such model using an integral equation, the crux of which is a continuous integral operator. A majority of rendering algorithms aim to approximate the effect of this light transport operator via discretization (using rays, particles, patches, etc.). Research spanning four decades has uncovered interesting properties and intuition surrounding this operator. In this paper we analyze compactness, a key property that is independent of its discretization and which characterizes the ability to approximate the operator uniformly by a sequence of finite rank operators. We conclusively prove lingering suspicions that this operator is not compact and therefore that any discretization that relies on a finite-rank or nonadaptive finite-bases is susceptible to unbounded error over arbitrary light distributions. Our result justifies the expectation for rendering algorithms to be evaluated using a variety of scenes and illumination conditions. We also discover that its lower dimensional counterpart (over purely diffuse scenes) is not compact except in special cases, and uncover connections with it being noninvertible and acting as a low-pass filter. We explain the relevance of our results in the context of previous work. We believe that our theoretical results will inform future rendering algorithms regarding practical choices.Le rendu d'images photoréalistes de scènes virtuelles nécessite la simulation du transport lumineux. L'équation du rendu décrit un tel modèle à l'aide d'une équation intégrale, ou intervient un opérateur intégral continu. Une part significative des d'algorithmes de rendu visent à approximer l'effet de cet opérateur via une discrétisation (à l'aide de rayons, de particules, de patchs, etc.). Quatre décennies de recherches ont mis à jour des propriétés et une intuition entourant cet opérateur. Dans cet article, nous analysons sa compacité, une propriété clé qui est indépendante de la discrétisation et qui caractérise la possibilité d'approcher uniformément l'opérateur par une suite d'opérateurs de rang fini. Nous justifions les soupçons persistants que cet opérateur n'est pas compact et donc que toute discrétisation qui repose sur un rang fini ou des bases finies non adaptatives n'apporte pas de guarantie d'erreur sur des distributions de lumière arbitraires. Notre résultat justifie le besoin d'évaluer chaque méthode en utilisant une variété de scènes et de conditions d'éclairage. Nous montrons également que son homologue de dimension inférieure (sur des scènes purement diffuses) n'est pas compact sauf dans des cas particuliers, et établissons un lien avec le fait qu'il est non inversible et agit comme un filtre passe-bas. Nous expliquons la pertinence de nos résultats dans le contexte de travaux antérieurs. Nous pensons que nos résultats théoriques éclaireront les futurs algorithmes de rendu concernant les choix pratiques

Estimation des valeurs propres du transport de la lumière à l'aide d'algorithmes de Monte Carlo

Constructing solutions for the discrete form of rendering equation has been extensively studied, due to the fact that digital computations are restricted to finite representations, i.e. matrices. The disadvantage of such representations is their computational cost for accurate estimations. On the other hand, the behavior of an operator acting on an infinite-dimensional space may not be the same as its matrix form in some states. In this study, we develop methods to estimate dominant eigenvalues of light transport based on the continuous form of light transport. We commence this investigation by formulating light transport as an integral operator defined on an infinite-dimensional Hilbert space. Applying all the tools offered by functional analysis formalism, we are able to discover properties such as continuity, closedness, compactness, and Hilbert-Schmidt characteristic. We also demonstrate the effect of the compactness property of light transport to compromise the accuracy of the finite and infinite representation of light transport. Furthermore, we study the resolvent of light transport and discuss obstacles on the way to building resolvent-based tools for the spectral study of light transport. The resolvent study is highly connected to the Fredholm theory. In this framework, operators are kernel operators. Fredholm derived an infinite series expansion for his famous determinant. We illustrate how it is possible to transform computations (related to Fredholm determinant) for light transport, when light transport is Hilbert-Schmidt, in terms of path tracing techniques. Finally, we design a few methods that leverage path tracing techniques normally used in the production of images, in order to numerically compute approximations of the dominant eigenvalues of the operator.La construction de méthodes discrètes d’approximation de l’équation de rendu a été largement étudiée. Celles-ci impliquent des calculs numériques utilisant des représentations de dimension finie (des matrices), dont la taille suit le besoin en précision du résultat. La convergence de ces méthodes est intrinsèquement liée à la compacité de l’opérateur de transport lumineux. Dans cette thèse, nous développons des méthodes pour estimer les valeurs propres dominantes de l’opérateur de transport de la lumière, basées sur la forme continue de l’opérateur. Nous formulons le transport de la lumière comme un opérateur intégral défini sur un espace de Hilbert de dimension infinie. Grâce aux outils offerts par l’analyse fonctionnelle, nous analysons tout d’abord des propriétés telles que la continuité, la fermeture, la compacité et la caractéristique de Hilbert-Schmidt de l’opérateur. Nous démontrons également l’impact de la compacité du transport de la lumière sur la précision des approximations finies de l’equation du rendu. De plus, nous étudions le résolvent de l’opérateur de transport et discutons des possibilités qu’il offre pour l’étude spectrale du transport de la lumière. L’étude du résolvent est fortement liée à la théorie de Fredholm, qui propose une extension en série infinie pour son célèbre déterminant. Nous illustrons comment il est possible de transformer les calculs (liés au déterminant de Fredholm) pour le transport de la lumière, lorsque l’opérateur de transport de lumière est Hilbert-Schmidt, sous forme d’intégrales d’ensembles de chemin lumineux. Enfin, nous proposons plusieurs méthodes qui tirent parti des techniques de Path Tracing, normalement utilisées dans la production d’images, afin de calculer numériquement des approximations des valeurs propres dominantes de l’opérateur de transport

Eigenvalue estimation of light transport using Monte Carlo algorithms

La construction de methodes discrètes d'approximation de l'équation de rendu a été largement étudiée. Celles-ci impliquent des calculs numériques utilisant des représentations de dimension finie (des matrices), dont la taille suit le besoin en precision du resultat. La convergence de ces methodes est intrinsequement liee a la compacite de l'operateur de transport lumineux.Dans cette these, nous développons des méthodes pour estimer les valeurs propres dominantes de l'operateur de transport de la lumière, basées sur la forme continue de l'operateur. Nous formulons le transport de la lumière comme un opérateur intégral défini sur un espace de Hilbert de dimension infinie. Grace aux outils offerts par l'analyse fonctionnelle, nous analysons tout d'abord des propriétés telles que la continuité, la fermeture, la compacité et la caractéristique de Hilbert-Schmidt de l'operateur. Nous démontrons également l'impact de la compacité du transport de la lumière sur la précision des approximations finies de l'equation du rendu. De plus, nous étudions le résolvent de l'operateur de transport et discutons des possibilites qu'il offre pour l'étude spectrale du transport de la lumière. L'étude du résolvent est fortement liée à la théorie de Fredholm, qui propose une extension en série infinie pour son célèbre déterminant. Nous illustrons comment il est possible de transformer les calculs (liés au déterminant de Fredholm) pour le transport de la lumière, lorsque l'operateur de transport de lumière est Hilbert-Schmidt, sous forme d'integrales d'ensembles de chemin lumineux. Enfin, nous proposons plusieurs méthodes qui tirent parti des techniques de Path Tracing, normalement utilisées dans la production d'images, afin de calculer numériquement des approximations des valeurs propres dominantes de l'opérateur de transport.Constructing solutions for the discrete form of rendering equation has been extensively studied, due to the fact that digital computations are restricted to finite representations, i.e. matrices. The disadvantage of such representations is their computational cost for accurate estimations. On the other hand, the behavior of an operator acting on an infinite-dimensional space may not be the same as its matrix form in some states.In this study, we develop methods to estimate dominant eigenvalues of light transport based on the continuous form of light transport. We commence this investigation by formulating light transport as an integral operator defined on an infinite-dimensional Hilbert space. Applying all the tools offered by functional analysis formalism, we are able to discover properties such as continuity, closedness, compactness, and Hilbert-Schmidt characteristic. We also demonstrate the effect of the compactness property of light transport to compromise the accuracy of the finite and infinite representation of light transport. Furthermore, we study the resolvent of light transport and discuss obstacles on the way to building resolvent-based tools for the spectral study of light transport. The resolvent study is highly connected to the Fredholm theory. In this framework, operators are kernel operators. Fredholm derived an infinite series expansion for his famous determinant. We illustrate how it is possible to transform computations (related to Fredholm determinant) for light transport, when light transport is Hilbert-Schmidt, in terms of path tracing techniques. Finally, we design a few methods that leverage path tracing techniques normally used in the production of images, in order to numerically compute approximations of the dominant eigenvalues of the operator